Question

【题目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.

(1)如图(1)所示,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;

(2)如图(2)所示,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F,求证:BE+CF=AB;

(3)如图(3)所示,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE-CF).

Answer 1

【答案】（1）BE=1；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和定理得出DE⊥AB，从而得到BE的长度；

（2）取AB得中点G，连接DG，得出DG为△ABC的中位线，则DG=DC，∠BGD=∠C=60°，根据四边形对角互补得出∠GED=∠DFC，从而得到△DEG≌△DFC，得到BG=CF，得出答案；

（3）取AB得中点G，连接DG，同（2），易证△DEG≌△DFC，得出EG=CF，设CN=x，根据Rt△DCN得出CD=2x，DN=x，根据题意得出EG、BE与x的关系，从而进行证明．

试题解析：（1）由四边形AEDF的内角和为360°，可知DE⊥AB，故BE=2

（2）取AB的中点G，连接DG

易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，∠BGD=∠C=60°

又四边形AEDF的对角互补，故∠GED=∠DFC

∴△DEG≌△DFC

故EG=CF

∴BE+CF=BE+EG=BG=AB

（3）取AB的中点G，连接DG

同（2），易证△DEG≌△DFC

故EG=CF

故BE-CF=BE-EG=BG=AB

设CN=x

在Rt△DCN中，CD=2x，DN=x

在RT△DFN中，NF=DN=x，故EG=CF=（-1）x

BE=BG+EG=DC+CF=2x+（-1）x=（+1）x

故BE+CF=（+1）x+（-1）x=2x

（BE-CF）=[（+1）x-（-1）]=2x

故BE+CF=（BE-CF）