Question

△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G．求证：FH=HG．

Answer 1

证明：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、Q，
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，
∴∠BDF=∠BFD，
又∵∠APF=∠BDF，∠AFP=∠BFD，∠PFA=∠BFD，
∴∠APF=∠AFP，
∴AP=AF，
同理AQ=AE，
又∵AF=AE，
∴PA=AQ，
∵△APD∽△HFD，
∴，
同理，
∴，
∴HF=HG．
分析：首先过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、Q．根据切线的性质定理、两直线平行内错角相等的性质、对顶角相等，可证得∠APF=∠AFP．进而得到PA=AF，同理可证得AQ=AE，因而AP=AQ．再根据相似三角形的性质，对应边成比例，问题得解．
点评：本题考查三角形的内切圆与内心、平行线的性质、全等三角形的性质、弦切角定理．解决本题的关键是证明PA=AQ，再根据相似证得最终结论．