Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处，连接DE′和EE′，则下列结论中 

①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形   ④AD⊥EE′⑤BD²+CE²=DE²

正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：（1）由外角的性质和题意可推出∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，再由等腰直角三角形的性质可知∠ABD=∠C=45°，即可推出∠ADE=∠BAE；（2）由旋转的性质可知AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，再由∠EAC+∠BAE=90°，可知∠EAE′=90°，即可推出△AEE′是等腰直角三角形；（3）由∠DAE=45°，∠BAC=90°，可知∠EAC+∠BAD=45°，又因为∠EAC=∠BAE′，推出∠DAE′=∠EAD=45°，即得AD⊥EE′；（4）因为∠C=∠E′BA=∠ABD=45°，可求出△E′BD为直角三角形，再由EC=E′B，根据勾股定理，通过等量代换即可推出BD²+CE²=DE²．
解答：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠BAE；
（2）∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处，
∴AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAE′+∠BAE=90°，
∴△AEE′是等腰直角三角形；
（3）∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAD=45°，
∵∠EAC=∠BAE′，
∴∠DAE′=∠EAD=45°，
∵△AEE′是等腰直角三角形，
∴AD⊥EE′，
（4）∵∠C=∠E′BA=∠ABD=45°，
∴∠E′BD=90°，
∵EC=E′B，
∴BD²+CE²=DE²，
∴②③④⑤项正确．
故选D．
点评：本题主要考查旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形等相关的性质定理，关键在于逐项分析解答，正确的运用相关的性质定理进行分析．