Question

如图，将一块含30°角的学生用三角板放在平面直角坐标系中，使顶点A、B分别放置在y轴、x轴上，已知AB=2，∠ABO=∠ACB=30°．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求过A，B，C三点的抛物线解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若不存在，请说明理由；若存在，请你求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，可求出OA、OB，继而得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于点D，在Rt△BCD中求出BD，CD即可得出点C的坐标；
（2）利用待定系数法可求出过A，B，C三点的抛物线解析式；
（3）分两种情况讨论，①点P与点C重合，②点P与点C不重合，求出直线AB的解析式，过点C作直线AB的平行线，则与抛物线的交点即是符合题意的点P的位置．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∠ABO=30°，AB=2，
则OA=1，OB=

3

，
∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（

3

，0），
在Rt△ABC中，AB=2，∠ACB=30°，
则BC=ABcot∠ACB=2

3

，
过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：

在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=2

3

，
则BD=BCsin∠BCD=

3

，CD=

3

BD=3，
故点C的坐标为（2

3

，3）．
综上可得点A（0，1），点B（

3

，0），点C（2

3

，3）．

（2）设y=ax²+bx+1，
将B（

3

，0），C（2

3

，3）代入可得：

3a+ 3 b+1=0 12a+2 3 b+1=3

，
解得：

a= 2 3 b=- 3

，
故抛物线解析式为：y=

2

3

x²-

3

x+1．
（3）①当点P与点C重合时，很明显△PAB的面积等于△ABC，此时点P的坐标为（2

3

，3）．

②点P与点C不重合时，设直线AB解析式为y=kx+1，
将B（

3

，0）代入可得：

3

k+1=0，
解得：k=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+1，
过点C作直线AB的平行线，则与抛物线交点为点P的位置，

设直线CP的解析式为y=-

3

3

x+m，
将C（2

3

，3）代入可得：3=-

3

3

×2

3

+m，
解得：m=5，
∴直线CP的解析式为y=-

3

3

x+5，
联立抛物线与直线CP的解析式：

y=- 3 3 x+5 y= 2 3 x2- 3 x+1

，
解得：

x1=2 3 y1=3

，

x2=- 3 y2=6

，
故此时点P的坐标为（-

3

，6）．
综上可得点P的坐标为（2

3

，3）或（-

3

，6）．

点评：本题考查了二次函数综合题，前两问的求解比较简单，难点在第三问，解答本题的关键是根据平行线之间的距离相等找到点P的位置，另外不要忘记考虑点P与点C重合的情况造成漏解．