A. | 3 | B. | 3$\sqrt{2}$ | C. | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
分析 如图,作辅助线,构建△BCE的中位线,利用三角形中位线定理易求PG、AG的长度,并得EC=2DG,设DG=x,则EC=2x,利用同角的三角函数列式可求x的值,最后由三角形面积公式进行解答.
解答 解:如图,过D作DG⊥BE于G,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,即点D是BC的中点,
∵BE⊥AC,
∴DG∥AC,
∴BG=EG,
∴GD是△BCE的中位线,
∴DG=$\frac{1}{2}$CE.即CE=2DG,
∵BP=3,PE=1,
∴BE=3+1=4,
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=2,
∴PG=3-2=1,
设DG=x,则EC=2x,
在△APE和△BPD中,∵∠BPD=∠APE,
∠BDP=∠AEP=90°,
∴∠DAC=∠DBP=∠GDP,
tan∠DBP=tan∠GDP=$\frac{EC}{BE}=\frac{PG}{DG}$,
∴$\frac{2x}{4}=\frac{1}{x}$,
x=$±\sqrt{2}$,
∴DG=$\sqrt{2}$,
∴S△BDP=$\frac{1}{2}$GD•BP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$;
故选C.
点评 本题考查了三角形中位线定理,等腰三角形三线合一的性质,三角函数,如果没学三角函数可利用证明△DGP∽△BEC列比例式得出面积.
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