Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点A、B（$\frac{3}{2}$，m）、C（3，n）均在抛物线y=（x-1）²+1上，点D在抛物线的对称轴上，CD∥x轴．若点P为抛物线上A、B两点间任意一点（包括点A、B），则△PCD面积S的取值范围是3≤S≤$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 先根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，利用二次函数的性质求出D点坐标，得出CD，设CD与y轴交于点E，作BF⊥CD于F，△PCD中CD边上的高为h，则AE≤h≤BF．然后根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：∵抛物线y=（x-1）²+1过点A、B（$\frac{3}{2}$，m），C（3，n），且点A在y轴上，
∴x=0时，y=2，即A（0，2），
x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{5}{4}$，即B（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$），
x=3时，y=5，即C（3，5）．
∵对称轴为直线x=1，点D在抛物线的对称轴上，CD∥x轴，
∴D（1，5），
∴CD=3-1=2．
如图，设CD与y轴交于点E，作BF⊥CD于F，△PCD中CD边上的高为h，
∵点P为抛物线上A、B两点间任意一点（包括点A、B），
∴AE≤h≤BF．
∵AE=5-2=3，BF=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴3≤h≤$\frac{15}{4}$，
∵△PCD的面积S=$\frac{1}{2}$CD•h=$\frac{1}{2}$×2•h=h，
∴3≤S≤$\frac{15}{4}$，
故答案为3≤S≤$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，设△PCD中CD边上的高为h，得出h的取值范围是解题的关键．