Question

如图，已知矩形ABCD，AB=10，BC=4，以AB为直径作⊙O，⊙O交CD于E、F两点（E在F的右边），连接AE、BE．
（1）找出图中一对相似的三角形，并说明理由；
（2）求弦EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得到∠ADE=∠ECB=90°，由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠AEB=90°，易证得Rt△ADE∽Rt△ECB；
（2）过O点作OH⊥DC于H，连OE，根据垂径定理得FH=EH，再由矩形的性质得到OE=

1

2

AB=5，OH=BC=4，然后在Rt△OEH中利用勾股定理计算出EH，即可得到EF．

解答：解：（1）Rt△ADE∽Rt△ECB．
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠ECB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEB+∠AED=90°，
而∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CEB，
∴Rt△ADE∽Rt△ECB；

（2）过O点作OH⊥DC于H，连OE，如图，
∴FH=EH，
∵四边形AOHD是矩形，
∴OE=

1

2

AB=5，
∴OH=BC=4，
在Rt△OEH中，
∴EH=

OE2-OH2

=

5 2-42

=3，
∴EF=2EH=6．

点评：本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角．也考查了垂径定理和勾股定理以及三角形相似的判定．