Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证PA是⊙O的切线，只要证∠PAO=90°即可，因为AB为直径，所以有∠CAB+∠CBA=90°，又∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O的切线．
（2）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得△AEC∽△BED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表达式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分别表示出AB²，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；
根据圆周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∴∠CAB+∠CBA=90°；
又∠PAC=∠B，
∴∠CAB+∠PAC=90°；
∴∠PAB=90°；
即PA是⊙O的切线．

（2）解：设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；
由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，即：
2y•3y=5x•6x，解得：

5

x=y；
∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，则有：

AC

BD

=

AE

DE

；
∵AE=2y=2

5

x，DE=5x，
∴

AC

BD

=

2 5

5

，由于AC=8，则BD=4

5

；
设BC=m，同理可求得AD=

5

3

m；
∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²=AD²+BD²，即：
8²+m²=（

5

3

m）²+（4

5

）²，解得m=6；
故BC=6，AD=2

5

；
∴AB=

AC2+BC2

=10，tan∠ECB=tan∠DAB=

BD

AD

=2．

点评：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质等重要知识；此题的难点在于（2）题，通过两步相似来求得BD的长以及AD、BC的比例关系，是解答此题的关键．