Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是高，BD＝6，CD＝4，tan∠BAD＝，P是线段AD上一动点，一机器人从点A出发沿AD以个单位/秒的速度走到P点，然后以1个单位/秒的速度沿PC走到C点，共用了t秒，则t的最小值为_____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

作PH⊥AB于H，根据锐角三角函数求得AD=8，根据勾股定理求得AB=10，设机器从A运动到P点用x秒，则从P点运动到C用了(t﹣x)秒，当点C、P、H共线时，PC+PH的值最小，即t的值最小，可求得t的最小值.

解：作PH⊥AB于H，如图，

∵AD是高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵tan∠BAD＝＝，

∴AD＝×6＝8，

∴AB＝＝10，

设机器从A运动到P点用x秒，则从P点运动到C用了(t﹣x)秒，

∴AP＝x，PC＝t﹣x，

在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，

在Rt△APH中，sin∠PAH＝＝，

∴PH＝x＝x，

∴PC+PH＝x+t﹣x＝t，

而点C、P、H共线时，PC+PH的值最小，即t的值最小，

此时CH⊥AB，

在Rt△ABD中，sinB＝＝＝，

在Rt△BCH中，∴sin∠B＝＝，

∴CH＝×(4+6)＝8，

即t的最小值为8．

故答案为8．