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如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)y=-x2-2x+3,(-1,4);(2)△BCD是直角三角形.理由见解析;(3)存在,p1(0,0)、p2(0,)、p3(-9,0).

试题分析:(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三边的长,然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断;
(3)分p在x轴和y轴两种情况讨论,舍出P的坐标,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C(0,3),可知c=3.即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3.
把点A(1,0)、点B(-3,0)代入,得

解得a=-1,b=-2
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
∴顶点D的坐标为(-1,4);
(2)△BCD是直角三角形.理由如下:
解法一:过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.

∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角三角形.
解法二:过点D作DF⊥y轴于点F.
在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形.
(3)①△BCD的三边,,又,故当P是原点O时,△ACP∽△DBC;
②当AC是直角边时,若AC与CD是对应边,设P的坐标是(0,a),则PC=3﹣a,,即,解得:a=﹣9,则P的坐标是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,则△ACP∽△CBD不成立;
③当AC是直角边,若AC与BC是对应边时,设P的坐标是(0,b),则PC=3﹣b,则,即,解得:b=,故P是(0,)时,则△ACP∽△CBD一定成立;
④当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(d,0).
则AP=1﹣d,当AC与CD是对应边时,,即,解得:d=1﹣3,此时,两个三角形不相似;
⑤当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(e,0).
则AP=1﹣e,当AC与DC是对应边时,,即,解得:e=﹣9,符合条件.
总之,符合条件的点P的坐标为:p1(0,0)、p2(0,)、p3(-9,0).
考点: 二次函数综合题.
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