试题分析:(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三边的长,然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断;
(3)分p在x轴和y轴两种情况讨论,舍出P的坐标,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax
2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C(0,3),可知c=3.即抛物线的解析式为y=ax
2+bx+3.
把点A(1,0)、点B(-3,0)代入,得
解得a=-1,b=-2
∴抛物线的解析式为y=-x
2-2x+3.
∵y=-x
2-2x+3=-(x+1)
2+4
∴顶点D的坐标为(-1,4);
(2)△BCD是直角三角形.理由如下:
解法一:过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC
2=OB
2+OC
2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD
2=DF
2+CF
2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD
2=DE
2+BE
2=20
∴BC
2+CD
2=BD
2∴△BCD为直角三角形.
解法二:过点D作DF⊥y轴于点F.
在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形.
(3)①△BCD的三边,
,又
,故当P是原点O时,△ACP∽△DBC;
②当AC是直角边时,若AC与CD是对应边,设P的坐标是(0,a),则PC=3﹣a,
,即
,解得:a=﹣9,则P的坐标是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,则△ACP∽△CBD不成立;
③当AC是直角边,若AC与BC是对应边时,设P的坐标是(0,b),则PC=3﹣b,则
,即
,解得:b=
,故P是(0,
)时,则△ACP∽△CBD一定成立;
④当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(d,0).
则AP=1﹣d,当AC与CD是对应边时,
,即
,解得:d=1﹣3
,此时,两个三角形不相似;
⑤当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(e,0).
则AP=1﹣e,当AC与DC是对应边时,
,即
,解得:e=﹣9,符合条件.
总之,符合条件的点P的坐标为:p
1(0,0)、p
2(0,
)、p
3(-9,0).
考点: 二次函数综合题.