“已知△ABC的三条边长分别为$\sqrt{5}$.$\sqrt{10}$.$\sqrt{13}$.求这个三角形的面积．在解决这个问题时.我们可以先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1).再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处).如图甲所示．这样不需要求三角形的高.就可以借用网格计算出它的面积．(1)直接写出上述� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．“已知△ABC的三条边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积．”在解决这个问题时，我们可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图甲所示．这样不需要求三角形的高，就可以借用网格计算出它的面积．
（1）直接写出上述△ABC的面积=$\frac{7}{2}$；
（2）上述求三角形面积的方法叫做“构图法”．用此方法在图乙的正方形网格中（每个小正方形的边长a，a＞0）画出三边长分别为2$\sqrt{2}$a，$\sqrt{5}$a，$\sqrt{17}$a的三角形，并求出它的面积；
（3）若△ABC的三边长分别为2$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$，$\sqrt{{m}^{2}+1{6n}^{2}}$，$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$，其中m＞0，n＞0，且m≠n，求这个三角形的面积（用含有m，n的代数式表示）．

分析（1）利用割补法求解可得；
（2）根据勾股定理在网格中画出相应的△ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．

解答解：（1）△ABC的面积=3×3-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$；

（2）如图2，

△ABC的面积=3a×4a-$\frac{1}{2}$×3a×2a-$\frac{1}{2}$×a×4a-$\frac{1}{2}$×2a×2a=5a²；

（3）构造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n=5mn．

点评本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

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6．

（1）已知x+y=4，x²+y²=9，求xy的值；
（2）如图，AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC=120°，求∠AOE的度数．

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9．

如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，D、E为斜边AB上的点，∠DCE=45°，若AD=2，DE=5，则BE的长是（　　）

A．

B．

$\frac{9}{2}$

C．

$\sqrt{19}$

D．

$\sqrt{21}$

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6．小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．

请回答：
（1）求图1中△ABC的面积；
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为$\sqrt{13}$、2$\sqrt{5}$、$\sqrt{29}$的格点△DEF；
②计算△DEF的面积是8．
（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=2$\sqrt{2}$，PR=$\sqrt{13}$，QR=$\sqrt{17}$，求六边形AQRDEF的面积．

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13．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）