Question

探究与思考：在计算m+m²+m³+…+mⁿ的和时，我们可以用以下思路：
令A=m+m²+m³+…+mⁿ，则mA=m²+m³+…+mⁿ⁺¹；
（1）试利用以上思路求出m+m²+m³+…+mⁿ的和；
（2）请利用（1）求出m+2m²+3m³+…+nmⁿ的和．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型,整体思想

分析：（1）根据已知条件，所求的式子乘以m，然后减去原式，即可求解；
（2）求出所求的式子的二倍，相加时首项与尾项相加，然后利用（1）的结论即可求解．

解答：解：（1）设A=m+m²+m³+…+mⁿ，则mA=m²+m³+…+mⁿ⁺¹．
∴mA-A=mⁿ⁺¹-m，即（m-1）A=mⁿ⁺¹-m
∴A=

mn+1-m

m-1

（2）m+2m²+3m³+…+nmⁿ+（m+2m²+3m³+…+nmⁿ）=（n+1）（m+m²+m³+…+mⁿ）=（n+1）

mn+1-m

m-1

∴m+2m²+3m³+…+nmⁿ=

(n+1)(mn+1-m)

2(m-1)

点评：本题考查了整式的混合运算，正确理解已知的式子i，求得（1）中式子的结果是关键．