Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，OA、OC是方程x²-2（k+3）+12k=0的两根，且OA＞OC，点D在BC上，直线l平分矩形OABC的面积．
（1）若S_△ACD=6时，求D点坐标；
（2）若直线l经过点D，求直线l的解析式；
（3）是否存在直线l，使l与坐标轴围成的三角形与△ABD相似？如果存在，直接写出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设方程x²-2（k+3）x+12k=0的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系可得x₁+x₂=2（k+3），x₁•x₂=12k，根据勾股定理及完全平方公式得出方程[2（k+3）]²-2×12k=10²，解方程求出k=4，进而求出OA=8，OC=6．设D点坐标为（x，6），再根据S_△ACD=6，得出方程

1

2

x•6=6，解方程求出x的值，进而得到
D点坐标；
（2）根据矩形的性质可知，当直线l平分矩形OABC的面积时，l经过矩形的中心，即对角线AC的中点．根据线段中点坐标公式求得对角线AC的中点坐标是（4，3）．设直线l的解析式为y=mx+n，将点（4，3），D（2，6）代入，利用待定系数法即可求出直线l的解析式；
（3）设直线l交x轴于点M，交y轴于点N．先由∠B=90°，AB=BD=6，得出△ABD是等腰直角三角形，于是当△OMN与△ABD相似时，△OMN也是等腰直角三角形．再分两种情况情况讨论：①点N在y轴正半轴上；②点N在y轴负半轴上．

解答：解：（1）设方程x²-2（k+3）x+12k=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=2（k+3），x₁•x₂=12k，
∵

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10²，
∴[2（k+3）]²-2×12k=10²，
解得k₁=4，k₂=-4（不合题意舍去），
∴k=4，
解方程x²-14x+48=0，得x₁=6，x₂=8，
由题意得OA=8，OC=6．
设D点坐标为（x，6）．
∵S_△ACD=6，
∴

1

2

x•6=6，
解得x=2，
∴D点坐标为（2，6）；

（2）∵直线l平分矩形OABC的面积，
∴直线l经过矩形的中心，即对角线AC的中点．
∵A（8，0），C（0，6），
∴对角线AC的中点坐标是（4，3）．
设直线l的解析式为y=mx+n，
∵直线l经过点（4，3），D（2，6），
∴

4m+n=3 2m+n=6

，
解得

m=- 3 2 n=9

，
∴直线l的解析式为y=-

3

2

x+9；

（3）存在直线l，能够使l与坐标轴围成的三角形与△ABD相似．
设直线l交x轴于点M，交y轴于点N，如图．
△ABD中，∵∠B=90°，AB=6，BD=BC-CD=8-2=6，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴当△OMN与△ABD相似时，△OMN也是等腰直角三角形．
分两种情况：
①如果点N在y轴正半轴上，设直线l的解析式为y=-x+p，
将点（4，3）代入，得3=-4+p，解得p=7，直线l的解析式为y=-x+7；
②如果点N在y轴负半轴上，设直线l的解析式为y=x+q，
将点（4，3）代入，得3=4+q，解得q=-1，直线l的解析式为y=x-1；
综上所述，存在直线l，使l与坐标轴围成的三角形与△ABD相似，此时直线l的解析式为l₁：y=-x+7或l₂：y=x-1．

点评：本题是一次函数综合题，其中涉及到矩形的性质，根与系数的关系，线段中点坐标公式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想及分类讨论是解题的关键．