Question

如图，在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点．把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．在下列结论：
①EF平分∠OED；②；③EF∥BC；④BD=EF
请填上你认为正确的结论的序号________；并选其中一个加以证明．

Answer 1

①③④
分析：由在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质与折叠的性质，可求得∠AEF=∠FED=45°；
由等腰直角三角形的性质，可得CD=DE，又由DE=BD，即可得BD=（-1）AB；
由∠AEF=∠C=45°，即可证得EF∥BC；
易证得四边形BDEF是平行四边形，即可得BD=EF．
解答：∵在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，
∴∠OBC=ABC=45°，
由折叠的性质可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED；
故①正确；
∵BD=ED，
在Rt△DEC中，∠C=45°，
∴CD=DE，
∴CD=BD，
∵BC=AB，
∴BD=BC=（-1）AB，
故②错误；
∵∠AEF=∠C=45°，
∴EF∥BC；
故③错误；
∵∠EDC=90°-∠C=45°，
∴∠EDC=∠OBC=45°，
∴DE∥OB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF．
故④正确．
故答案为：①③④．
证明：①在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，
∴∠OBC=ABC=45°，
由折叠的性质可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED．
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．