Question

八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：

（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．

Answer 1

试题分析：相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出A′C的长就可以解决．
解：（1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；（3分）
（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的结论，得到证明；（6分）
（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，
∴菱形ABCD与菱形A′FCE的面积比为2：1，
∴对应边之比为：1，即AC：A′C=：1，（7分）
∵AC=，
∴A′C=1，（9分）
∴AA′=﹣1．（10分）
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