Question

2．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A和B两点的坐标求正方形边长AB，由图②得：P在边AB上运动10秒，Q开始运动时，横坐标为1；
（2）由（1）知，正方形边长为10，根据三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，写出C点的坐标；
（3）作辅助线，证明△APM∽△ABF，列比例式得：AM=$\frac{3}{5}t$，PM=$\frac{4}{5}$t，根据面积公式可得S与t的关系式；
（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半；分三种情况进行讨论：点P分别在AB、BC、CD上时，根据这一等量关系列式可得t的值．

解答 解：（1）如图①，过B作BF⊥OA于F，
∵A（0，10），
∴OA=10，
∵B（8，4），
∴BF=8，OF=4，
∴AF=10-4=6，
∴AB=10，
由图②知：点P在边AB上运动时间为10秒，所以速度为：10÷10=1，
Q（1，0），
则点P运动速度为每秒1个单位长度；
（2）如图③，过B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，
由（1）知：AF=6，AB=10；
过C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH，
∴BH=AF=6，CH=BF=8，
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，
∴所求C点的坐标为（14，12）；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
∴PM∥BF，
则△APM∽△ABF，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AF}=\frac{MP}{BF}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{AM}{6}$=$\frac{MP}{8}$，
∴AM=$\frac{3}{5}t$，PM=$\frac{4}{5}$t，
∴PN=OM=10-$\frac{3}{5}$t，ON=PM=$\frac{4}{5}$t，
∴S=S_△OPQ=$\frac{1}{2}$PN•OQ
=$\frac{1}{2}$×（10-$\frac{3}{5}$t）（1+t）=-$\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{47}{10}t+5$（0≤t≤10）；

（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件；
①当P在AB上时，如图③，$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{2}$（t+1），t=$\frac{5}{3}$，OP与PQ相等，
②当P在BC上时，如图④，则PB=t-10，
sin∠ABF=sin∠BPM=$\frac{AF}{AB}=\frac{BM}{PB}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{BM}{t-10}$，
∴BM=$\frac{3}{5}$（t-10），
∴ON=BF+BM=8+$\frac{3}{5}$（t-10），
8+$\frac{3}{5}$（t-10）=$\frac{1}{2}$（t+1），解得：t=-15（舍），
③当P在CD上时，如图⑤，则PC=t-20，
cos∠PCR=cos∠BCH=$\frac{CH}{BC}=\frac{CR}{PC}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{CR}{t-20}$，
∴CR=MH=$\frac{4}{5}$（t-20），
∴ON=OG-NG=FH-MH=14-$\frac{4}{5}$（t-20），
14-$\frac{4}{5}$（t-20）=$\frac{1}{2}$（t+1），解得：t=$\frac{295}{13}$，
即当t=$\frac{295}{13}$时，OP=PQ，
综上所述，当t=$\frac{295}{13}$或$\frac{5}{3}$时，OP与PQ相等．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、三角形相似的性质和判定、等角的三角函数、三角形面积、动点运动问题、图形与坐标特点以及等腰三角形的判定，有难度，第一要注意动点P、Q运动的出发点，同时第4问要采取分类讨论的思想解决问题．