Question

7．如图，四边形ABCD的边长为10的正方形，顶点A、B分别在x轴、y轴上，点B、E关于x轴对称，点F在x轴上且OE=OF，若点D为EF的中点．
（1）求A、E的坐标；
（2）连FC，求线段FC的长；
（3）连BD交x轴于G，作GN⊥AG交BC于N，DC与x轴交于点M，连MN，求证：MN=BN+DM．

Answer 1

分析 （1）取中点，构建中位线DH，证明△ABO≌△DAH≌△AEO，得出AH=2DH，设DH=x，则AH=2x，
由勾股定理列方程求出x的值，写出A、E的坐标；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质得：OD⊥EF，根据SAS证明△ADO≌△CDF，则FC=AO=2$\sqrt{5}$；
（3）作辅助线，构建垂线和全等三角形，先根据角平分线的性质得：GK=GQ，证明△AKG≌△NQG，则AG=NG，所以∠GAN=45°，再证明△PAN≌△MAN，可得结论．

解答 解：（1）如图1，取OF的中点H，连接DH，
∵D为EF的中点，
∴DH是△OEF的中位线，
∴DH∥OE，
∴∠DHA=∠EOA=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠OAD=90°，
∵∠OAD+∠ADH=90°，
∴∠BAD=∠ADH，
∴△ABO≌△DAH，
∵E、B关于x轴对称，
∴△AOE≌△AOB，
∴△ABO≌△DAH≌△AEO，
∴AO=DH，OB=OE=AH，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠DFO=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH=FH，
∴DH=FH=OH，
∴DH=AO=OH，
∴AH=2DH，
设DH=x，则AH=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=10²，
5x²=100，
x=±$\sqrt{5}$，
∴AO=2$\sqrt{5}$，EO=2x=4$\sqrt{5}$，
∴A（-2$\sqrt{5}$，0），E（0，4$\sqrt{5}$）；
（2）如图2，连接OD，
∵OE=OF，D为EF的中点，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∴△ODF为等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠FDC，
∵AD=DC，
∴△ADO≌△CDF，
∴FC=AO=2$\sqrt{5}$，
（3）如图3，过G作GK⊥AB于K，过G作GQ⊥BC于Q，连接AN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC，
∴GK=GQ，
∵∠KGN+∠NGQ=90°，
∠AGK+∠KGN=90°，
∴∠AGK=∠NGQ，
∵∠AKG=∠NQG=90°，
∴△AKG≌△NQG，
∴AG=NG，
∴∠GAN=45°，
延长NB至点P，使PB=DM，连接AP，
∵AB=AD，∠ABP=∠ADM=90°，
∴△ABP≌△ADM，
∴AP=AM，∠PAB=∠MAD，
∴∠PAN=∠PAB+∠BAN=∠MAD+∠BAN=∠GAN=45°，
∵AN=AN，
∴△PAN≌△MAN，
∴MN=PN=PB+BN=DM+BN．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等，运用的知识较多，在本题中多次构建全等三角形，得出对应线段相等，从面使问题得以解决．