Question

1．如图，Rt△ABC绕点直角顶点A旋转一定角度后得到△ADE，且点D落在BC上．
（1）若旋转的角度是50°，则∠E=25°；∠BAE=140°；
（2）若AB=5，DE=13，求AC和BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得AB=AD，∠BAD=∠CAE=50°，∠C=∠E，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=65°，再利用互余可得∠C=25°，于是得到∠E=∠C=25°；然后利用∠BAE=∠BAC+∠CAE求∠BAE的度数；
（2）根据旋转的性质得AB=AD=5，BC=DE=13，则在Rt△ABC中利用勾股定理可计算出AC=12，作AH⊥BD于H，如图，根据等腰三角形的性质得BH=DH，接着证明Rt△BAH∽Rt△BCA，于是利用相似比可计算出BH=$\frac{25}{12}$，然后利用BD=2BH求BD的长．

解答 解：（1）∵Rt△ABC绕点直角顶点A旋转一定角度后得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=∠CAE=50°，∠C=∠E，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，
∴∠C=90°-65°=25°，
∴∠E=∠C=25°；
∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+50°=140°；
故答案为25，140；
（2）∵Rt△ABC绕点直角顶点A旋转一定角度后得到△ADE，
∴AB=AD=5，BC=DE=13，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
作AH⊥BD于H，如图，则BH=DH，
∵∠HBA=∠ABC，
∴Rt△BAH∽Rt△BCA，
∴$\frac{BH}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{BH}{5}$=$\frac{5}{12}$，
∴BH=$\frac{25}{12}$，
∴BD=2BH=$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定与性质．