Question

17．如图，△ABC是等边三角形，M是BC边上一动点，点N在AC边上，且BM=CN，AM和BN交于点D．
（1）作AE⊥BN，垂足为E，如图1，求证：AD=2DE；
（2）如图2，连结CD，当点M移动到∠ADC=90°，试求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABM≌△BCN（SAS）推出∠BAM=∠CBN，得到∠ADN=∠ABD+∠BAD=∠ABD+∠CBN=60°，由此在Rt△ADE中即可解决问题．
（2）如图2中，将△ABD绕A点逆时针旋转60°得到△ACH．首先证明△ADH是等边三角形，再证明△DCH是直角三角形，利用30度角性质即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABM=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠ADN=∠ABD+∠BAD=∠ABD+∠CBN=60°，
∵AE⊥BE，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=30°，
∴AD=2DE．

（2）如图2中，将△ABD绕A点逆时针旋转60°得到△ACH．

∵∠ADN=∠DAH=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH，∠AHD=60°，
∵○AHC=∠ADB=120°，
∴∠CHD=∠ADH=60°，
∴CH∥AF，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCH=180°-∠AFC=90°，
∴DH=2CH=2BD，
∴AD=2BD．
∴$\frac{AD}{DB}$=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．