Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边三角形ACE，BE分别与AD、AC交于点F、G，连接CF．
（1）求证：∠FBD=∠FCD；
（2）若AF=3，DF=1，求EF的值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，则FB=FC，所以∠FBD=∠FCD；
（2）过A作AH⊥BE于H点，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，BH=EH，则∠ABF=∠ACF，所以∠ACF=∠AEG，则∠GFC=∠EAG=60°，利用三角形外角性质得∠GFC=∠FBC+∠FCD，则∠FBC=30°，于是BF=2FD=2，BD=

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FD=

3

，设FH=x，利用勾股定理得到AB²=AD²+BD²=16+3=19，在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²=AH²+（x+2）²，在Rt△AFH中，AH²=AF²-FH²=9-x²，可得到关于x的方程19=9-x²+（x+2）²，解得x=

3

2

，再求出BH、BE的长，然后利用EF=BE-BF计算．

解答：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBD=∠FCD；

（2）解：过A作AH⊥BE于H点，如图，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，BH=EH，
∴∠ABF=∠ACF，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，∠EAC=60°，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ACF=∠AEG，
∴∠GFC=∠EAG=60°，
而∠GFC=∠FBC+∠FCD，
∴∠FBC=30°，
∴BF=2FD=2，BD=

3

FD=

3

，
设FH=x，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=16+3=19，
在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²=AH²+（x+2）²，
在Rt△AFH中，AH²=AF²-FH²=9-x²，
∴19=9-x²+（x+2）²，解得x=

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2

，
∴BH=BF+FH=2+

3

2

=3.5，
∴BE=2BH=7，
∴EF=BE-BF=7-2=5．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．