Question

5．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP=x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．
（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{8}$）；
（2）菱形ABCD的周长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象可直接得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，从而得到AO=BD，设AO=a，然后求出△AMN和△ABD相似，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出MN，然后根据三角形的面积列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题求出a，从而得到AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的周长公式求解即可．

解答 解：（1）由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{8}$）；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO，
∵AC=2BD，
∴AO=BD，
设AO=a，
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MN}{BD}$，$\frac{x}{a}=\frac{MN}{a}$，解得MN=x，
∴△OMN的面积为y=$\frac{1}{2}$MN•PO=$\frac{1}{2}$x（a-x）=-$\frac{1}{2}$（x²-ax）=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{8}$a²，
由图2可知，当x=$\frac{1}{2}$时，y的最大值为$\frac{1}{8}$，∴$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$，
解得a=1，
∴AO=1，BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴菱形的周长=$\frac{\sqrt{5}}{2}×4=2\sqrt{5}$．
故答案为：（1）（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{8}$）、（2）2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，勾股定理，列式得到y与x的函数关系式是解题的关键．