Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD，BD=3，CD=8，求AB的长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F．易证△ADB≌△ADE≌△AFE，得出BD=DE=EF=3，AD=AF，设AD=AF=x，则在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的长度，进而可得出AB的长．

解答：解：作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F；如图所示：
则∠BAD=∠DAE=∠EAF．
∵∠CAD=2∠BAD，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ADB与△ADE中，

∠BAD=∠EAD   AD=AD   ∠ADB=∠ADE=90°

，
∴△ADB≌△ADE（ASA）．
同理可得，△ADB≌△ADE≌△AFE，
∴BD=DE=EF=3，AD=AF．
∵EC=CD-DE=5，
∴FC=

52-32

=4，
设AD=AF=x，则在Rt△ACD中，x²+8²=（x+4）²，
解得x=6，
∴AD=6，
∴AB=

BD2+AD2

=

32+62

=3

5

．

点评：本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．