Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证：AB-OF=

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2

AC；
（2）点A₁、点C₁分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于点F₁，过点F₁作F₁E⊥A₁C₁，垂足为E，请猜想EF₁，AB与

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2

A1C1三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A₁E₁=6，C₁E₁=4时，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO+OF，而AC=2OA，由此可得证；

（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F₁作F₁G₁⊥AB，F₁H₁⊥BC，那么可证得四边形F₁G₁BH₁是正方形，EF₁=F₁G₁=F₁H₁，那么可得出F₁就是三角形A₁BC₁的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF₁=（A₁B+BC₁-A₁C₁）÷2，然后根据用AB分别表示出A₁B，BC₁，最后经过化简即可得出AB-EF₁=

1

2

A₁C₁；

（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F₁是三角形A₁BC₁的内心来解，那么我们不难看出E、G₁、H₁都应该是切点，根据切线长定理不难得出A₁E+A₁G₁=A₁C₁+A₁B-C₁E-BG₁，由于C₁E=C₁H₁，BG₁=BH₁，A₁E=A₁G₁因此式子可写成2A₁E=A₁C₁+A₁B-BC₁，而（A₁B-BC₁）正好等于2A₁A，由此可求出A₁A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．

解答：（1）证明：过F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=

1

2

AC+OF，
∴AB-OF=

1

2

AC．

（2）解：过F₁作F₁G₁⊥A₁B，过F₁作F₁H₁⊥BC₁，则四边形F₁G₁BH₁是矩形．
同（1）可得EF₁=F₁G，因此四边形F₁G₁BH₁是正方形．
∴EF₁=G₁F₁=F₁H₁，
即：F₁是三角形A₁BC₁的内心，
∴EF₁=（A₁B+BC₁-A1C1）÷2…①
∵A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-CC₁，而CC₁=A₁A，
∴A₁B+BC₁=2AB，
因此①式可写成：EF₁=（2AB-A₁C₁）÷2，
即AB-EF1=

1

2

A₁C₁．

（3）解：由（2）得，F₁是三角形A₁BC₁的内心，且E₁、G₁、H₁都是切点．
∴A₁E=（A₁C₁+A₁B-BC₁）÷2，
如果设CC₁=A₁A=x，
A₁E=[A₁C₁+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A₁BC₁中，根据勾股定理有A₁B²+BC₁²=AC₁²，
即：（AB+1）²+（AB-1）²=100，
解得AB=7，
∴BD=7

2

．

点评：本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．