Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，己知点A的坐际是（3，0）．且0A=OC=3OB．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，点D是抛物线在x轴上方的一动点，对称轴与直线AD，BD，x轴交于E，F，M三点．求证：ME+MF为定值．

Answer 1

分析 （1）先确定B（-1，0），C（0，3），则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，如图1，过点C作AC的垂线交抛物线于P点，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数易得直线PC的解析式为y=x+3，则通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得此时P点坐标；过点A作AC的垂线交抛物线于P点，同同样方法可得此时P点坐标；
（3）设D（t，-t²+2t+3），利用待定系数法得到直线BD的解析式为y=（3-t）x+3-t，直线AD的解析式为y=（-t-1）x+3（t+1），则可表示出F（1，6-2t），E（1，2t+2），所以ME=2t+2，MF=6-2t，于是得到ME+MF=8．

解答 （1）解：∵A（3，0），
∴OA=3，
∵0A=OC=3OB，
∴OC=3，OB=1，
∴B（-1，0），C（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）解：存在．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
如图1，过点C作AC的垂线交抛物线于P点，则△PCA是以AC为直角边的直角三角形，易得直线PC的解析式为y=x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（1，4）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P点，则△PCA是以AC为直角边的直角三角形，易得此时直线AC的解析式为y=x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（-2，-5）；
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（1，4）或（-2，-5）；
（3）证明：抛物线的对称轴为直线x=1，则M（1，0），
设D（t，-t²+2t+3），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（-1，0），D（t，-t²+2t+3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{tm+n=-{t}^{2}+2t+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3-t}\\{n=3-t}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=（3-t）x+3-t，
同样方法可求得直线AD的解析式为y=（-t-1）x+3（t+1），
当x=1时，y=（3-t）x+3-t=6-2t，则F（1，6-2t），
当x=1时，y=（-t-1）x+3（t+1）=2t+2，则E（1，2t+2），
∴ME=2t+2，MF=6-2t，
∴ME+MF=2t+2+6-2t=8，
∴ME+MF为定值．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，把求两函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质．