【题目】已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,设△ABC的面积为S.
(1)填表:
三边a,b,c | S | c+b-a | c-b+a |
3,4,5 | 6 | ||
5,12,13 | 20 | ||
8,15,17 | 24 |
(2)①如果m=(c+b-a)(c-b+a),观察上表猜想S与m之间的数量关系,并用等式表示出来.
②证明①中的结论.
【答案】(1)6,30,60,4,6,10;(2)①S=m;②见解析
【解析】
(1)根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积除以2,可求得,把三边对应数值分别代入c-b+a,即得结果;
(2)①通过图表中数据分析,可得4S=m,即得S与m的关系式;
②利用平方差公式和完全平方公式,把m展开化简,利用勾股定理即可证明.
(1)直角三角形面积S=,代入数据分别计算得:,,,由,分别代入计算得:5-4+3=4,13-12+5=6,17-15+8 =10;
三边a,b,c | S | c+b-a | c-b+a |
3,4,5 | 6 | 6 | 4 |
5,12,13 | 30 | 20 | 6 |
8,15,17 | 60 | 24 | 10 |
(2)①结合图表可以看出:6×4÷4=6,20×6÷4=30,24×10÷4=60,即得m=4S,所以S=m;
②证明:∵m= (c+b-a)(c-b+a)
= [c+(b-a)][(c-(b-a)]= [c2-(b-a)2]= [c2-(a2+b2)+2ab]
在Rt△ABC中,c2=a2+b2,∴m=×2ab=ab,
又∵S=ab,
∴S=m.
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【题目】如图,把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数y=﹣(x<0)的图象上的点C处,另两个顶点分别落在原点O和x轴的负半轴上的点A处,且∠CAO=30°,则AC边与该函数图象的另一交点D的坐标坐标为_____.
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【题目】如图,已知平行四边形OACB的顶点O、A、B的坐标分别是(0,0)、(0,a),(b,0),且a、b满足
(1)如图1,求点C的坐标;
(2)如图2,点P为边OB上一动点,作等腰Rt△APD,且∠APD=90°.当点P从O运动到点B的过程中,求点D运动路程的长度;
(3)如图3,在(2)的条件下,作等腰Rt△BED,且∠DBE=90°,再作等腰Rt△ECF,且∠ECF=90°,直线FE分别交AC、OB于点M、N,求证:FM=EN.
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【题目】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙底端C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米,那么点B将向左滑动多少米?
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线,交AC边于点E,交AB 边的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,BF=3,求弧AD的长.
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【题目】如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形纸片沿EF折叠,使点C与点A重合.
(1)判断△AEF的形状,并说明理由;
(2)求折痕EF的长度;
(3)如图2,展开纸片,连接CF,则点E到CF的距离是 .
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【题目】如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半径r.
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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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