Question

已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系得出可推出

AB+AC=2k+2 AB•AC=k2+2k

，分情况讨论，①若AB=AC，通过解方程组推出1=0（不成立），所以AB≠AC；②若AB=BC=10，通过解方程组推出

k1=10 k2=8

，即可推出

AC1=12 AC2=8

，③AC=BC=10，然后根据所求的结果即可推出结论．

解答：解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的两个根，
则AB+AC=2k+2，AC×AB=k²+2k，
分为三种情况：
①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB²=k²+2k，
AB=k+1，
代入得：（k+1）²=k²+2k，
此方程无解，即AB≠AC；
②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k²+2k，
即AC=2k+2-10，
代入得：10（2k+2-10）=k²+2k，
解得：k₁=10，k₂=8，
∴AC=12或8，
③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8，
∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=12+10+10=32，
∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28，
∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为32或28．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，关键在于根据相关的性质求出方程组

AB+AC=2k+2 AB•AC=k2+2k

，然后正确的分情况讨论，认真的进行计算．