Question

已知开口向下的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x²-2x-3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．
（1）求点M和N的坐标；
（2）求系数a的取值范围；
（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得S△MPN=2

3

？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据先求出方程x²-2x-3=0的两根，然后根据M，N的左右位置来确定它们的坐标．
（2）可先用交点式设出抛物线的解析式，由于抛物线过M，N，因此可将抛物线设为y=a（x²-2x-3），求∠MKN不小于90°时a的取值范围，那么可先求出∠MKN=90°时，a的值．当∠MKN=90°时，可根据射影定理求出OK的长，也就求出了a的值，进而可得出a的取值范围．（要注意的是抛物线开口向下的条件，即a＜0）．
（3）当y取最大值时，那么∠NKN必为90°，可根据（2）得出的∠MKN=90°时a的值，进而可求出抛物线的解析式，然后根据三角形MKN的面积求出P点纵坐标的绝对值，再将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标．

解答：解：（1）由题意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（-1，0），N（3，0）

（2）抛物线与x轴交于M（-1，0），N（3，0）两点，则y=a（x²-2x-3）
抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
当∠MKN=90°时，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，

1

-3a

=

-3a

3

∴a²=

1

3

，a=-

3

3

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是-

3

3

≤a＜0；

（3）当y取最大值时，a=-

3

3

，因此抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；
设P点的坐标为（0，h），则有：
S_△MPN=

1

2

•MN•|h|=2

3

，MN=4，因此|h|=

3

，h=±

3

．
当h=

3

时，

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=0或x=2．
当h=-

3

时，-

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=1+

7

或1-

7

．
因此P点的坐标为（0，

3

）、（2，

3

）、（1+

7

，-

3

）、（1-

7

，-

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的综合应用，（2）中求出∠MKN=90°时a的取值是解题的关键．