Question

1．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．
（1）线段OC的长为$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O₁B₁D₁E₁，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O₁，B₁，D₁，E₁，连接CD₁，CE₁，设点E₁的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD₁E₁的面积为S．
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S=$\frac{1}{4}$时，请直接写出a的值．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；
（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；
（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D₁E₁于点H，可求得△CD₁E₁的高与底，继而求得答案；
②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵点C为边AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CBO=∠COB，
∵四边形OBDE是正方形，
∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，
∴∠CBD=∠COE，
在△CBD和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CO}\\{∠CBD=∠COE}\\{BD=OE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△COE（SAS）；

（3）①解：过点C作CH⊥D₁E₁于点H，
∵C是AB边的中点，
∴点C的坐标为：（2，$\frac{1}{2}$）
∵点E₁的坐标为（a，0），1＜a＜2，
∴CH=2-a，
∴S=$\frac{1}{2}$D₁E₁•CH=$\frac{1}{2}$×1×（2-a）=-$\frac{1}{2}$a+1；

②当1＜a＜2时，S=-$\frac{1}{2}$a+1=$\frac{1}{4}$，
解得：a=$\frac{3}{2}$；
当a＞2时，同理：CH=a-2，
∴S=$\frac{1}{2}$D₁E₁•CH=$\frac{1}{2}$×1×（a-2）=$\frac{1}{2}$a-1，
∴S=$\frac{1}{2}$a-1=$\frac{1}{4}$，
解得：a=$\frac{5}{2}$，
综上可得：当S=$\frac{1}{4}$时，a=$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．