【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,BC.OE∥BC交AC于E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠BAC=30°,AB=4,直接写出线段CF的长.
【答案】(1)见解析;(2)2
【解析】
(1)连接OC,根据平行线的性质得到∠OEA=∠ACB,由圆周角定理得到∠OEA=∠ACB=90°,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,证明△ADO≌△CDO(SSS),得出∠DAO=∠OCD,根据切线的性质得到∠DAO=90°,求得OC⊥DC,于是得到结论;
(2)证明△BOC是等边三角形,得出∠BOC=60°,解直角三角形即可得到结论.
(1)证明:连接OC,
∵OE∥BC,
∴∠OEA=∠ACB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠OEA=∠ACB=90°,
∴OD⊥AC,由垂径定理得OD垂直平分AC,
∴DA=DC,
∵DO=DO,OC=OA,
∴△ADO≌△CDO(SSS),
∴∠DAO=∠OCD,
∵DA为⊙O的切线,OA是半径,
∴∠DAO=90°,
∴∠OCD=∠DAO=90°,
即OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
又∵OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠FOC=60°,
又∵AB=4,
∴OB=OC=OA=2,
在Rt△COF中,tan∠FOC=,
∴CF=2.
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【题目】抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,且.直线与抛物线交于,两点,与轴交于点,点是抛物线的顶点,设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为.
(1)连接,求证:四边形是平行四边形;
(2)连接,,当为何值时?
(3)在直线上是否存在一点,使为等腰直角三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上.则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3B.y3>y2>y1C.y2>y3>y1D.y1>y3>y2
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【题目】在九年级复学复课以后,随机抽取九年级(3)班5名学生的一次晨检体温测量值(单位:℃)如下: 36.9,36.8,36.8,36.5,37.关于这组数据的说法错误的是( )
A.众数是36.8B.平均数是36.8C.中位数是36.8D.方差是0.4
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是边BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接CE.
(1)如图,求证:BD=CE;
(2)若AF平分∠DAE交直线BC于点F.
①如图,当点F在线段BC上,猜想线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;
②若BD=6,CF=8,直接写出AD的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数的图象恰好经过点C,则k的值为______.
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【题目】如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.
(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ;
(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).
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【题目】某商店经营一款新电动玩具,进货单价是30元。在1个月的试销阶段,售价是40元,销售量是400件.根据市场调查,销售单价若每再涨1元,1个月就会少售出10件.
(1)若商店在1个月获得了6000元销售利润,求这款玩具销售单价是定为多少元的,并考虑了顾客更容易接受.
(2)若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元,且商店每月要完成不少于350件的销售任务,求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润.
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【题目】(2017四川省达州市,第16题,3分)如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6,BC=,则下列结论:①F是CD的中点;②⊙O的半径是2;③AE=CE;④.其中正确结论的序号是__________.
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