Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止。连结PQ、点D是PQ中点，连结CD并延长交AB于点E.

（1）试说明：△POQ是等腰直角三角形；
（2）设点P、Q运动的时间为t秒，试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S，并求出
S的最大值；
（3）如图2，点P在运动过程中，连结EP、EQ，问四边形PEQC是什么四边形，并说明理由；
（4）求点D运动的路径长（直接写出结果）.

Answer 1

角度转换；2；矩形；

试题分析：(1)、证明：连接CO，则：CO⊥AB ∠BCO=∠A="45°" CO=AO=1/2AB
在△AOP和△COQ中
AP="CQ" ，∠A=∠BCO，AO="CO"           
∴△AOP≌△COQ   (SAS)
∴OP="OQ"    ∴∠AOP=∠COQ　
∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　     
∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）
(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2
当t=2时，S取得最大值，最大值S="2" （3分）
(3)、四边形PEQC是矩形
证明：连接OD
∵点D是PQ中点
∴CD=PD=DQ=PQ
OD=PD=DQ=PQ
∴CD="OD"
∴∠DCO=∠DOC
∵∠CEO+∠DCO=90°
∠DOE+∠DOC=90°
∴∠CEO=∠DOE
∴DE=DO
∴DE=CD
∵PD=DQ
∴四边形PEQC是平行四边形
又∠ACB=90° ∴四边形PEQC是矩形（3分）
(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段
点D运动的路径长=AB=（3分）
点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．