【题目】在等腰三角形中,边上的高恰好等于边长的一半,则等于_______.
【答案】75°或90°或15°
【解析】
本题要分三种情况讨论,根据等腰三角形的性质来①当BC为腰,AD在三角形的内部,②BC为腰,AD在三角形的外部,③BC边为等腰三角形的底边.
解:如下图,分三种情况:
①如图1,AB=BC,AD⊥BC,AD在三角形的内部,
由题意知,AD=BC=AB,
Sin∠B=
∴∠B=30°,
∴∠C=∠BAC=(180°∠B)÷2=75°,
∴∠BAC=∠C=75°;
②如图2,AC=BC,AD⊥BC,AD在三角形的外部,
由题意知,AD=BC=AC,
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB,
∵∠B=∠CAB,
∴∠BAC=∠ACD=15°;
③如图3,AC=BC,AD⊥BC,BC边为等腰三角形的底边,
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线,顶角的平分线重合,可得点D为BC的中点,
由题意知,AD=BC=CD=BD,
∴△ABD,△ADC均为等腰直角三角形,
∴∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°,
故答案为:90°或75°或15°.
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【题目】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】如图,某电信公司计划在A,B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔,且使C,D两个村庄到E的距离相等.已知AD⊥AB于点A,BC⊥AB于点B,AB=80km,AD=50km,BC=30km,求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方?
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【题目】某校把一块三角形的废地开辟为动物园,如图所示,测得AC=80m,BC=60m,AB=100m.
(1)若入口E在边AB上,且与A、B等距离,求入口E到出口C的最短距离;
(2)若线段CD是一条小渠,且点D在边AB上.点D距点A多远时,水渠的距离最短?
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【题目】已知,在一个盒子里有红球和白球共10个,它们除颜色外都相同,将它们充分摇匀后,从中随机抽出一个,记下颜色后放回.在摸球活动中得到如下数据:
摸球总次数 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
摸到红球的频数 | 17 | 32 | 44 | 64 | 78 |
| 103 | 122 | 136 | 148 |
摸到红球的频率 | 0.34 | 0.32 | 0.293 | 0.32 | 0.312 | 0.32 | 0.294 |
| 0.302 |
|
(1)请将表格中的数据补齐;
(2)根据上表,完成折线统计图;
(3)请你估计,当摸球次数很大时,摸到红球的频率将会接近 (精确到0.1).
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【题目】如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求a的值,并写出抛物线的表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,
①当点M(2,n)时,求n,并求△ABM的面积.
②当点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值和此时点M的坐标.
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【题目】(1)把下面的证明补充完整:
如图,已知直线EF分别交直线AB、CD于点M、N,AB∥CD,MG平分∠EMB,NH平分∠END.求证:MG∥NH
证明:∵AB∥CD(已知)
∴∠EMB=∠END( )
∵MG平分∠EMB,NH平分∠END(已知),
∴∠EMG=∠EMB,∠ENH=∠END( ),
∴ (等量代换)
∴MG∥NH( ).
(2)你在第(1)小题的证明过程中,应用了哪两个互逆的真命题?请直接写出这一对互逆的真命题.
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【题目】抛物线m:y=x2﹣2x+2与直线l:y=x+2交于A,B(A在B的左侧),且抛物线顶点为C.
(1)求A,B,C坐标;
(2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC下方,当以A,C,D为顶点的三角形面积最大时,求点D的坐标及此时三角形的面积.
(3)将抛物线m:y=x2﹣2x+2沿直线OC方向平移得抛物线m′,与直线l:y=x+2交于A′,B′,问在平移过程中线段A′B′的长度是否发生变化,请通过计算说明.
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