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【题目】已知矩形和点,当点上任一位置(如图所示)时,易证得结论:,请你探究:当点分别在图、图中的位置时,又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图证明你的结论.

答:对图的探究结论为________

对图的探究结论为________

【答案】

【解析】

结论均是:.如图2,过点PMN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,可得四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形,根据(1)中的结论可得,在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2①,在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2②, 利用①+②即可证得结论;如图3,过点PMN∥AB,交AB的延长线于点M,交CD的延长线于点N,用上面的方法解决即可.

结论均是:

(1)如图2,过点PMN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,

∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形,

根据(1)中的结论可得,

在矩形ABNM中可得:PA2+PN2=PB2+PM2①,

在矩形NCDM中可得:PC2+PM2=PD2+PN2②,

①+②得:PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2

∴PA2+PC2=PB2+PD2

(2)如图3,过点PMN∥AB,交AB的延长线于点M,交CD的延长线于点N,

∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形,

同样根据(1)中的结论可得,

在矩形BCNM中可得:PC2+PM2=PB2+PN2①,

在矩形ADNM中可得:PA2+PN2=PD2+PM2②,

①+②:PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2

∴PA2+PC2=PB2+PD2

故答案为: .

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(2)若直线AE绕A点旋转到图位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请给予证明;

(3)若直线AE绕A点旋转到图位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.

(4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达BD与DE,CE的数量关系。

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