【题目】已知矩形和点,当点在上任一位置(如图所示)时,易证得结论:,请你探究:当点分别在图、图中的位置时,、、和又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图证明你的结论.
答:对图的探究结论为________;
对图的探究结论为________;
【答案】
【解析】
结论均是:.如图2,过点P作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,可得四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形,根据(1)中的结论可得,在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2①,在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2②, 利用①+②即可证得结论;如图3,过点P作MN∥AB,交AB的延长线于点M,交CD的延长线于点N,用上面的方法解决即可.
结论均是:.
(1)如图2,过点P作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形,
根据(1)中的结论可得,
在矩形ABNM中可得:PA2+PN2=PB2+PM2①,
在矩形NCDM中可得:PC2+PM2=PD2+PN2②,
①+②得:PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
(2)如图3,过点P作MN∥AB,交AB的延长线于点M,交CD的延长线于点N,
∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形,
同样根据(1)中的结论可得,
在矩形BCNM中可得:PC2+PM2=PB2+PN2①,
在矩形ADNM中可得:PA2+PN2=PD2+PM2②,
①+②得:PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.
故答案为: ; .
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【题目】已知,如图,在△ABC中,∠C=120°,边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE;
(2)当AE=BC时,求∠A的度数.
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【题目】如图,菱形的面积为,对角线,交于点,点,,,分别是,,,的中点,连接,,,得到菱形;点,,,分别是,,,的中点,连接,,,,得到菱形;…,依此类推,则菱形的面积为________.
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【题目】如图,边长为的正方形的对角线交于点,把边、分别绕点、同时逆时针旋转得四边形,其对角线交点为,连接.下列结论:
①四边形为菱形;
②;
③线段的长为;
④点运动到点的路径是线段.其中正确的结论共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.
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【题目】如图①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在AE的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
(1)求证: BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图②位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请给予证明;
(3)若直线AE绕A点旋转到图③位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.
(4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达BD与DE,CE的数量关系。
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【题目】如图所示,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的切线分别交AB,AC的延长线于点E,F.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)探究线段AF、CF、AB之间的数量关系,并证明.
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【题目】设双曲线与直线交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”,当双曲线的眸径为9时,的值为_____.
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