【题目】抛物线与直线交于两点,且两点之间的抛物线上总有两个纵坐标相等的点.
(1)求证:;
(2)过作轴的垂线,交直线于,,且当,,三点共线时,轴.
①求的值:
②对于每个给定的实数,以为直径的圆与直线总有公共点,求的范围.
【答案】(1)见解析;(2)①;②.
【解析】
(1)先联立,消去得,法一:根据题意可得出,从而有,即可得出结果;法二:设这两个纵坐标相等的点的横坐标为,,则,则,得出,从而有,即,同法一可得出结果;
(2)①设,,根据根与系数的关系可得,,由,均与轴平行,得出,,由,,三点共线,有,得出,即可求出x1,x2,再根据轴,得出,将x1,x2代入可求出a的值;②设以为直径的圆与直线的公共点为,连接AP,BP,则,过点A作AM垂直直线y=m于点M,过点B作BN垂直y=m于点N,构造一线三等角,可得:△AMP∽△PNB,得出,即,整理得,将x1+x2,x1x2代入,然后整理成关于的方程,由可得出,根据题意可得上述不等式对于任意的实数恒成,转化为二次函数图象开口向上,且与轴至多只有一个交点,据此列出关于m的不等式组,解出m即可.
(1)证明:法一:联立,消去得,
抛物线的对称轴为轴,则这两个纵坐标相等的点关于轴对称,
∴,∴,∴;
法二:设这两个纵坐标相等的点的横坐标为,,
则,∴.
∵,,∴,∴,∴.
∴,∴.
(2)解:①设,,
则由(1)知,是方程的两根,
∴,,
又∵,均与轴平行,
∴,,
又∵,,三点共线,∴,
∴,∴,
∴,,
又∵轴,∴,
∴,即,解得或.
∵,∴.
②设以为直径的圆与直线的公共点为,连接AP,BP,则,
过点A作AM垂直直线y=m于点M,过点B作BN垂直y=m于点N,构造一线三等角,可得:
△AMP∽△PNB,∴,∴,
∴,
又由①得,,
∴,
将上述方程整理成关于的方程:…(*),
∵方程(*)有实数根,
∴,∴,
整理得,
对于每个给定的实数,以为直径的圆与直线总有公共点,即总有点存在,
∴上述不等式对于任意的实数恒成.
当,即时,上述不等式为:,舍去;
当时,欲使上述不等式恒成立,
则二次函数图象开口向上,且与轴至多只有一个交点,
∴,解得:.
∴的范围为.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,连接AC、CB,过O作EO∥CB并延长EO到F,使EO=FO,连接AF并延长,AF与CB的延长线交于D.求证:AE2=FGFD.
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【题目】如图,若二次函数图象的对称轴为与轴交于点C,与x轴交于点点给出下列结论:①二次函数的最大值为;②;③;④当时,;⑤其中正确的个数是( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】如图,以AB为直径作半圆O,点C是半圆上一点,∠ABC的平分线交⊙O于E,D为BE延长线上一点,且DE=FE.
(1)求证:AD为⊙O切线;
(2)若AB=20,tan∠EBA=,求BC的长.
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【题目】如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律,第个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点,C(m,﹣3)是图象上的一点,且AC⊥BC,则a的值为( )
A.2B.C.3D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,AB=4,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A和顶点D的坐标;
(2)将点D向左平移4个单位长度,得到点E,求直线BE的表达式;
(3)若抛物线y=ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
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【题目】如图,已知在中,是边上一点,,是的外接圆,是的直径,且交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)过点作,垂足为点,延长交于点,若,求的长;
(3)在满足(2)的条件下,若,,求的半径及的值.
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