Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

Answer 1

（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P为BC中点，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴

PD

AC

=

PB

AB

，
即

PD

6

=

4

10

，
∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=

1

2

AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO=

1

2

AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴当⊙P在⊙O内部时：5-2t=3，
当⊙O在⊙P内部时2t-5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．