Question

7．问题深究．
有一块矩形铁皮ABCD，AB=3，BC=2$\sqrt{10}$．
（1）如图①，在矩形铁皮ABCD上找一个点E使得△AEB为等边三角形，并求出△AEB的面积．
（2）如图②，在矩形铁皮ABCD上找出所有点F使得∠AFB=45°，并求出△AFB的最大面积．
（3）如图③，工人师傅想用这块矩形铁皮ABCD裁剪出两块全等且面积最大的△AMB和△CND，且∠AMB=∠CND=30°，请在图中画出符合条件的M、N，并求出此时△AMB的面积．

Answer 1

分析 （1）如图①中，分别以A、B为圆心AB长为半径画弧，两弧交于点E，△ABE即为等边三角形；
（2）如图②中，在BC上取一点H，使得AB=BH，作△ABH的外接圆交AD于M，则当点F在$\widehat{MH}$上时，∠AFB=∠AHB=45°，当F是$\widehat{MH}$的中点时，△ABF的面积最大；
（3）如图③中，在BC上取一点E，使得∠AEB=30°，在AD上取一点F，使得∠CFD=30°，连接AC，分别作△ABE，△DFC的外接圆交AC于M、N．此时△ABM≌△CDN，且面积最大；

解答 解：（1）如图①中，分别以A、B为圆心AB长为半径画弧，两弧交于点E，△ABE即为等边三角形．
S_△ABE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•3²=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．


（2）如图②中，在BC上取一点H，使得AB=BH，作△ABH的外接圆交AD于M，则当点F在$\widehat{MH}$上时，∠AFB=∠AHB=45°，
当F是$\widehat{MH}$的中点时，△ABF的面积最大，最大面积=$\frac{1}{2}$•3•（$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$．

（3）如图③中，在BC上取一点E，使得∠AEB=30°，在AD上取一点F，使得∠CFD=30°，连接AC，
分别作△ABE，△DFC的外接圆交AC于M、N．此时△ABM≌△CDN，且面积最大，连接EM．
∵AE是直径，
∠AME=∠EMC=90°，∵∠ECM=∠ACB，
∴△ECM∽△ACB，
∴EC：AC=CM：BC，
∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+（2\sqrt{10}）^{2}}$=7，EC=2$\sqrt{10}$-3$\sqrt{3}$，
∴（2$\sqrt{10}$-3$\sqrt{3}$）：7=CM：2$\sqrt{10}$，
∴CM=$\frac{40-6\sqrt{30}}{7}$，AM=7-CM=$\frac{9+6\sqrt{10}}{7}$，
∴S_△ABM：S_△ABC=AM：AC，
∴S_△ABM=$\frac{27\sqrt{10}+180}{49}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．