Question

（2011•红桥区一模）已知函数y₁=x，y₂=

1

2

x²+

1

2

．
（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y₁、y₂的值；
（Ⅱ）说明：对于自变量x的同一个值，均有y₁≤y₂成立；
（Ⅲ）是否存在二次函数y₃=ax²+bx+c同时满足下列两个条件：
①当x=-1时，函数值y₁≤y₃≤y₂； ②对于任意的实数x的同一个值，都有y₁≤y₃≤y₂，
若存在，求出满足条件的函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）自己把x=1分别代入两个函数的解析式中计算即可求解；
（2）首先利用y₁-y₂，然后利用配方法证明y₁-y₂≤0即可求解；
（3）首先假设存在y3=ax2+bx+c，使得y₁≤y₃≤y₂成立，由于当x=-1时，y₃=0，而y₁=-1，y₂=1，由此得到a-b+c=0，又当x=1时，1≤a+b+c≤1，由此得到a+b+c=1，所以b=a+c=

1

2

，进一步得到y3=ax2+(a+c)x+c，当x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c，若ax2+(a+c)x+c≤

1

2

x2+

1

2

，即(a-

1

2

)x2+(a+c)x+(c-

1

2

)≤0，由此可以分别得到两个不等式组，解不等式组并且讨论即可解决问题．

解答：解：（1）当x=1时，y₁=1，y₂=1；

（2）y1-y2=x-(

1

2

x2+

1

2

)
=-

1

2

x2+x-

1

2

=-

1

2

(x2-2x+1)
=-

1

2

(x-1)2≤0，
∴y₁≤y₂；

（3）假设存在y3=ax2+bx+c，使得y₁≤y₃≤y₂成立，
当x=-1时，y₃=0，y₁=-1，y₂=1，
∴a-b+c=0，
当x=1时，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=

1

2

，
∴y3=ax2+(a+c)x+c，
若x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c
得

a＞0 (a+c-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 (a-c)2-2(a+c)+1≤0

①
若ax2+(a+c)x+c≤

1

2

x2+

1

2

，即(a-

1

2

)x2+(a+c)x+(c-

1

2

)≤0
得

a＜ 1 2 (a+c)2-4(a- 1 2 )(c- 1 2 )≤0

，即

a＜ 1 2 (a-c)2+2(a+c)-1≤0

由不等式①、②得：0＜a＜

1

2

，（a-c）²≤0，a=c=

1

4

，
∴满足条件的函数解析式为y3=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．

点评：此题考查了二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有求二次函数的函数值和函数值的大小的比较．在求有关开放性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．