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    8．如图，直线y=-x+8与x轴、y轴交于A、B两点，点P、点Q同时从点O出发，分别以每秒3个单位和每秒4个单位的速度沿x轴、y轴方向移动，连接PQ．设移动的时间为t秒（0＜t＜2），以点P为中心，顺时针旋转△POQ，使旋转后的△O′PQ′的边PQ′恰好落在x轴上．
    （1）当点Q′与点A重合时，求此时的t的值；
    （2）设△O′PQ′与△ABO重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

    分析 （1）点Q′与点A重合即OP+PQ=OA，据此即可列方程求解；
    （2）当0＜t≤1时，重合部分就是△△O′PQ′，根据三角形的面积公式即可直接求解；然后求得当O'正好在AB上时t的值，然后分大于这个值和小于这个值两种情况进行讨论．

    解答 解：（1）在y=-x+8中，令y=0，解得：x=8，即A的坐标是（8，0），OA=8．
    在直角△OPQ中，OQ=4t，OP=3t，
    则PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（4t）^{2}+（3t）^{2}}$=5t，
    根据题意得：3t+5t=8，
    解得：t=1．
    即t=1时，点Q′与点A重合；
    （2）当0＜t≤1时，重合部分就是△△O′PQ′即△OPQ，则y=$\frac{1}{2}$×3t×4t=6t2；
    当O'正好在AB上时，如图1．
    Q'O'=4t，O'P=3t，PQ'=5t，
    作O'C⊥x轴于点C．
    则O'C=$\frac{PQ'•O'P}{PQ'}$=$\frac{12}{5}$t．
    PC=$\frac{9}{5}$t．OC=3t+$\frac{9}{5}$t=$\frac{24}{5}$t．
    故O'的坐标是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）．
    把O'的坐标是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）代入y=-x+8得：$\frac{12}{5}$t=-$\frac{24}{5}$t+8，
    解得：t=$\frac{10}{9}$．
    当1＜t＜$\frac{10}{9}$时，如图2设O'Q'交AB于点D．
    Q'的坐标是（8t，0），O'的坐标是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）．
    设O'Q'的解析式是y=kx+b．
    则$\left\{\begin{array}{l}{8tk+b=0}\\{\frac{24}{5}tk+b=\frac{12}{5}t}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6t}\end{array}\right.$，
    则函数的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+6t．
    解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+6t}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=32-24t}\\{y=24t-24}\end{array}\right.$．
    即D的坐标是（32-24t，24t-24）．
    则S=S△PO'Q'-S△AQ'D=6t2-$\frac{1}{2}$（8t-8）（24t-24），即y=-90t2+192t-96；
    当$\frac{10}{9}$≤t＜2时，如图3．
    设PO'和AB相交于点E．
    设PO'的解析式是：y=mx+n，
    则$\left\{\begin{array}{l}{3mt+n=0}\\{\frac{24}{5}mt+n=\frac{12}{5}t}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-4t}\end{array}\right.$，
    则PO'的解析式是：y=$\frac{4}{3}$x-4t．
    解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{4}{3}x-4t}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12t+24}{7}}\\{y=\frac{32-12t}{7}}\end{array}\right.$．
    即E的坐标是（$\frac{12t+24}{7}$，$\frac{32-12t}{7}$）．
    PA=8-3t，
    则S=$\frac{1}{2}$（8-3t）×$\frac{32-12t}{7}$，即S=$\frac{2}{7}$（8-3t）2．

    点评 本题是二次函数与三角形的面积公式相结合的题目，关键是求得当O'正好在AB上时t的值，正确进行讨论．

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