Question

如图△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：
（1）△ACE≌△DCB；（2）CM=CN；（3）MN∥AB；（4）AC=DN，
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：先根据等边三角形的性质得CA=CD，CE=CB，∠ACD=60°，∠BCE=60°，则利用平角的定义得∠DCE=60°，所以∠ACE=∠DCB=120°，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△DCB；再利用全等的性质得∠AEC=∠CBD，然后根据“ASA”可判断△CBN≌△CEM，则CN=CM；解着证明△CMN为等边三角形得到∠CMN=60°，则∠ACM=∠CMN，根据平行线的判定得到MN∥AB；在△DCN中，∠DCN=60°，∠DNC＞60°，根据三角形边角关系得到DC＞DN，所以AC＞DN．

解答：解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=60°，∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE和△DCB中，

CA=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；所以（1）正确
∴∠AEC=∠CBD，
在△CBN和△CEM中，

∠CBN=∠CEM CB=CE ∠BCN=∠ECM

，
∴△CBN≌△CEM（ASA），
∴CN=CM，所以（2）正确；
∵∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠ACM=∠CMN，
∴MN∥AB，所以（3）正确；
在△DCN中，∠DCN=60°，∠DNC＞∠NCB，即∠DNC＞60°，
∴∠DNC＞∠DCN，
∴DC＞DN，
∴AC＞DN，所以（4）错误．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．