精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
20.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,O在斜边AB上,半径为4cm的圆O过点B,切AC于点D,交BC于点E.
(1)求线段EC的长;
(2)求图中阴影部分面积.

分析 (1)如图1所示:连接OE、OD.由切线的性质可知OD⊥AD,依据含30°直角三角形的性质可求得OA的长,从而可求得AB的长,然后在三角形ABC中依据含30°直角三角形的性质可求得BC的长,接下来,证明△OBE为等边三角形,从而可求得BE的长,依据EC=BC-BE可求得EC的长;
(2)如图2所示:连接OD、OE,过点E作EF⊥OD,垂足为F.在Rt△OEF中,先求得EF的长度,然后依据S=S梯形ECDO-S扇形EOD求解即可.

解答 解:(1)如图1所示:连接OE、OD.

∵AC圆O相切,D为切点,
∴OD⊥AD.
∵在Rt△AOD中,∠A=30°,OD=4,
∴OA=8.
∴AB=8+4=12.
∵在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=12,
∴BC=6.
∵∠A=30°,∠C=90°,
∴∠B=60°.
又∵OB=OE,
∴△OBE为等边三角形.
∴BE=OE=0B=4.
∴EC=BC-BE=6-4=2.
(2)如图2所示:连接OD、OE,过点E作EF⊥OD,垂足为F.

∵OD⊥AC,BC⊥AC,
∴OD∥BC.
∴∠B+∠BOD=120°.
∴∠BOD=120°.
∵△OBE为等边三角形,
∴∠BOE=60°.
∴∠EOF=60°.
在Rt△OEF中,EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=2$\sqrt{3}$.
∴S=S梯形ECDO-S扇形EOD=$\frac{(2+4)×2\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=6$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$.

点评 本题主要考查的是切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用以及不规则图形的面积计算方法,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

10.13.125°=13°7′30″;
18.3°+26°34′=54°52′.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

11.已知点(-3,y1),(2,y2)都在直线y=-3x+2b上,则y1、y2的大小关系是(  )
A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能比较

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

8.当a=2016时,分式$\frac{{a}^{2}}{a-1}+\frac{1}{1-a}$的值是2017.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

15.已知一次函数y=kx+m的图象经过点A(0,1),且k=$\frac{b+c}{a}$=$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$,求这个一次函数的表达式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

5.一次函数的图象经过点(3,2)和点(-2,1),求该一次函数的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

12.下列调查最适合用抽样调查的是(  )
A.某书稿中的错别字B.调查七(1)班学生的身高情况
C.某品牌灯泡的使用寿命D.企业招聘,对应聘人员进行面试

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

9.某市“创建文明城市”活动如火如荼的展开.某中学为了搞好“创城”活动的宣传,校学生会就本校学生对当地“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试.经过对测试成绩的分析,得到如图所示的两幅不完整的统计图(A:59分及以下;B:60-69分;C:70-79分;D:80-89分;E:90-100分).请你根据图中提供的信息解答以下问题:

(1)求该校共有多少名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,计算出“70-79分”部分所对应的圆心角的度数;
(4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90-100分”的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

10.如图,点A在直线l上,请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形.请找出所有符合条件的点(保留作图痕迹).

查看答案和解析>>

同步练习册答案