Question

如图所示，已知正方形ABCD的对角线长为a，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH=FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：能求出四边形EFGH的周长．由EH∥BD∥FG， EH=FG，得四边形EFGH是平行四边形， 所以EF∥GH，得四边形EMNH、四边形MNFD都是平行四边形， 所以EH=GF=MN，而∠AEH=∠ABD=45°，∠AHE=∠ADB=45°， 同理∠CFG=∠CGF=45°，所以△AEH和△CGF关于BD轴对称， 所以AFH和△CGF关于GN=MF=NH=EM，AH=CG． 又因为AD=CD，所以DH=DG又因为∠HDN=∠GDN=45°， 所以∠DHN=∠DGN=45°，故HN=DN． 同理EM=MF=BM，GN=HN=DN， 所以EF＋FG＋GH＋HE=2(BM＋MN＋ND)=2BD=2a．

提示：

这是近几年中考出现的动点问题，也是一个开放性题目，先假设能求出周长，想办法把所求的周长同已知的对角线的长联系起来． 关键是转移相等线段，利用正方形和平行四边形、等腰三角形的特征．