Question

1．如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以MN为对角线作矩形OMPN，在直线m的运动过程中，当△MPN完全夹在直线m和直线l之间时，△MPN的面积能否达到△OAB面积的$\frac{3}{16}$？如果能，请求出此时直线m的解析式；
（3）记△MPN和△OAB重合部分的面积为S，在直线m的运动过程中，请写出S与t的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围（直接写结果，不必写过程）

Answer 1

分析 （1）分别令直线l的解析式中x=0、y=0求出相对于的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；
（2）假设能，根据平移的性质找出点P的坐标，利用三角形的面积公式求出S_△MPN和S_△OAB的值，根据两三角形面积间的关系找出关于t的一元二次方程，解方程求出点P的坐标，再验证点P是否在直线l的下方，由此即可得出结论；
（3）令点P在直线l上，求出此时t的值，根据重合部分的形状不同分两种情况讨论：①重合部分为△MPN，利用三角形的面积公式求出S_△MPN；②重合部分为梯形MFEN，利用分割图形法结合三角形的面积公式求出S_梯形MFEN．综合上面两种情况即可得出结论．

解答 解：（1）令y=-x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=-x+4中y=0，则-x+4=0，解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
（2）假设能，设直线m的解析式为y=-x+t，
则点M的坐标为（t，0）（t＞0），点N的坐标为（0，t），
∴四边形OMPN为以MN为对角线的正方形形，
∴点M的坐标为（t，t），S_△MPN=S_△OMN=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}{t}^{2}$．
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×4×4=8，S_△MPN=$\frac{3}{16}$S_△OAB，即$\frac{1}{2}{t}^{2}$=$\frac{3}{16}$×8=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\sqrt{3}$，或t=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴此时点P的坐标为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
将x=$\sqrt{3}$代入y=-x+4中得：y=4-$\sqrt{3}$，
∵4-$\sqrt{3}$＞2＞$\sqrt{3}$，
∴此时点P在直线l的下方．
故当△MPN完全夹在直线m和直线l之间时，△MPN的面积能达到△OAB面积的$\frac{3}{16}$，此时直线m的解析式为y=-x+$\sqrt{3}$．
（3）当点P（t，t）在直线l：y=-x+4上时，有t=-t+4，
解得：t=2．
△MPN和△OAB重合部分分两种情况：

①重合部分为△MPN，此时0＜t≤2，如图1所示．
S_△MPN=$\frac{1}{2}$t²；
②重合部分为梯形MFEN，此时2＜t≤4，如图2所示．
S_梯形MFEN=S_△MPN-S_△FPE=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$（2t-4）²=-$\frac{3}{2}{t}^{2}$+8t-8．
综上可知：S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{2}{t}^{2}+8t-8（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、正方形的性质、三角形的面积公式以及分割图形法求图形面积，解题的关键是：（1）分别代入x=0、y=0求值；（2）求出点P的坐标；（3）分情况讨论．本题属于中档题，难度不大，在该题中利用分割图形法求图形的面积是难点，在日常练习中应当加强练习．