Question

（2005•玉林）如图，A、B两点的坐标分别是（x₁，0）、（x₂，0），其中x₁、x₂是关于x的方程x²+2x+m-3=0的两根，且x₁＜0＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；
（3）在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用判别式和两根的积为负数作为不等关系：22-4（m-3）=16-m＞0①，x₁x₂=m-3＜0，解不等式可得m的取值范围是m＜3；
（2）根据直角三角形的性质可得到AO=3BO，即x₁=-3x₂，和两根和的关系x₁+x₂=-2，联立方程组可解得x₁=-3，x₂=1，代入x₁•x₂=m-3，得m=0；
（3）过D作DF⊥轴于F，从（2）可得到A、B两点坐标为A（-3，O）、B（1，O），可证明△DAB≌△CBA，所以DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2，点D的坐标为（-2，），利用待定系数法可解直线AD的函数解析式为y=x+3．
解答：解：（1）由题意，得：
2²-4（m-3）=16-m＞0 ①
x₁x₂=m-3＜0         ②
解①得m＜4
解②得m＜3
所以m的取值范围是m＜3；（3分）

（2）由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°，
所以BC=2BO，AB=2BC=4BO，
所以A0=3BO，（4分）
从而得x₁=-3x₂③，
又因为x₁+x₂=-2④，
联合③、④解得x₁=-3，x₂=1，（5分）
代入x₁•x₂=m-3，得m=O；（6分）

（3）过D作DF⊥轴于F，
从（2）可得到A、B两点坐标为A（-3，O）、B（1，O）
∴BC=2，AB=4，OC=
∵△DAB≌△CBA
∴DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2
∴点D的坐标为（-2，）
∴直线AD的函数解析式为y=x+3．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．