Question

如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，BE与AC交于点M，AD与EC交于点N．
（1）证明：△BCE≌△ACD；
（2）指出图中的全等三角形，并选择一对加以证明；
（3）若点B，C，D不在同一直线上，请画出相应的图形，（1）（2）的结论还成立吗？请选择其中一对说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由SAS就可以得出△BCE≌△ACD；
（2）由△BCE≌△ACD可以得出∠CAD=∠CBE，再求出∠ACE=∠BCF就可以得出△ACN≌△BCM；
（3）△BCE≌△ACD，证法与（1）相同△ACN和△BCM不全等，△EMC和△DNC不全等，因为∠ACB=60°，∠ACN≠60°．

解答：证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．

（2）△ACN≌△BCM，△EMC≌△DNC，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD．
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACE=∠ACB．
在△ACN和△BCM中，

∠CBE=∠CAN AC=BC ∠BCM=∠ACN

，
∴△ACN≌△BCM（ASA）．

（3）△BCE≌△ACD，△ACN和△BCM不全等，△EMC和△DNC不全等，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，关键是掌握等边三角形三边相等，三角相等．