Question

现用a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形．

（1）如图①，当m=3时，a=　　；
如图②，当m=2时，a=　　；
（2）当a=37时，若按图①摆放可以摆出了几个正方形？若按图②摆放可以摆出了几个正方形？
（3）现有2013根火柴棒，现用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法，并通过计算验证你的结论．

Answer 1

（1）10，12；（2）12，14；（3）详见试题解析.

试题分析：（1）根据每多一个正方形多用2根火柴棒写出摆放m个正方形所用的火柴棒的根数，然后把m=3代入进行计算即可得解；
根据每多2个正方形多用5根火柴棒写出摆放2n个小正方形所用的火柴棒的根数，然后把m=2代入进行计算即可得解；
（2）根据a相等列出关于m、n的关系式；
（3）可以摆出图①说明a是比3的倍数多1的数，可以摆出图②说明2a是比5的倍数多2的数，所以，2a取5与6的倍数大2的数，并且现有2013根火柴棒进而得出答案．
试题解析：（1）由图可知，图①每多1个正方形，多用3根火柴棒，所以，m个小正方形共用3m+1根火柴棒，
图②每多2个正方形，多用5根火柴棒，所以，2n个小正方形共用5n+2根火柴棒，
当m=3时，a=3×3+1=10，
图②可以摆放2×5=12个小正方形；
故答案为：10，12；
（2）当a=37时，
3m+1=37，
解得：m=12，
5n+2=37，
解得；n=7，
按图①摆放可以摆出了12个正方形，
若按图②摆放可以摆出14个正方形；  
（3）∵3m+1+5n+2=2013，
∴3m+5n=2010，
当m=10，n=396，是方程的根，
∴第一个图形摆放3×10+1=31根火柴棒，
第二个图形摆放5×396+2=1982根火柴棒，
∵31+1982=2013，
∴符合题意（答案不唯一）．