Question

2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AC，OD交于点P，其中OA=4，OB=3．
（1）则OD所在直线的解析式为y=$\frac{7}{4}$x；
（2）则△AOP的面积为$\frac{224}{53}$．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得AD与AB的关系，∠DAB的度数，根据余角的性质，可得∠DAE=∠ABO，根据全等三角形的判定与性质，可得AE、DE的长度，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BF、CF的长度，根据待定系数法，可得CA的解析式，根据解方程组，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：（1）过点D作DE⊥OA于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAB=∠DEA=∠DAB=90°．
∵OA⊥OB
∴∠DAE+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°
∴∠DAE=∠ABO
在DAE和AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AOB}&{\;}\\{∠DAE=∠ABO}&{\;}\\{DA=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△AOB  （AAS），
∴DE=AO=4，AE=BO=3
∴OE=AE+AO=3+4=7
∴点D的坐标为（4，7）．
设OD所在直线的解析式为y=k₁x （k₁≠0）
将点D （4，7）代入得：4k₁=7，
解得：k₁=$\frac{7}{4}$，
所以OD所在直线的解析式为y=$\frac{7}{4}$x；
故答案为：y=$\frac{7}{4}$x；
（2）过点C作CF⊥OB于点F，
由第（1）问易得：△AOB≌BFC，
BF=4，CF=3，
∴OF=OB+BF=7，
∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（7，3）
设AC所在直线的解析式为y=₂x+b （k₂≠0），
将点A（0，4），点C（7，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{7{k}_{2}+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以AC所在直线的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+4，
联立OD、AC得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{4}x}\\{y=-\frac{1}{7}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{112}{53}}\\{y=\frac{196}{53}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{112}{53}$，$\frac{196}{53}$）
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{112}{53}$=$\frac{224}{53}$；
故答案为：$\frac{224}{53}$．

点评 本题考查了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式、解方程组求交点坐标，三角形的面积公式；证明三角形全等和求出函数解析式是解决问题的关键．