Question

如图，已知AB是半⊙O的直径，过O作弦AC的垂线交半⊙O于D，交切线AE于E，连接BD、CD．
（1）求证：∠BDC=∠E；
（2）⊙O半径为5，AC=8，求切线长AE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由AE是⊙O的切线，OE⊥AC，可得∠BAC+∠EAC=90°，∠EAC+∠E=90°，可得∠BAC=∠E，又由圆周角定理，可得∠BAC=∠BDC，继而证得结论；
（2）首先连接BC，由⊙O半径为5，AC=8，可求得BC的长，易证得△ABC∽△EOA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得切线长AE．

解答：（1）证明：∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
即∠BAC+∠EAC=90°，
∵OE⊥AC，
∴∠EAC+∠E=90°，
∴∠BAC=∠E，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠BDC=∠E；

（2）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵⊙O半径为5，AC=8，
∴AB=10，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵∠ACB=∠EAO=90°，∠BAC=∠E，
∴△ABC∽△EOA，
∴

AE

AC

=

OA

BC

，
即

AE

8

=

5

6

，
解得：AE=

20

3

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．