Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．

【小题1】求抛物线的解析式及其顶点D的坐标
【小题2】设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；
【小题3】在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
【小题4】将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

【小题1】设抛物线解析式为，
把代入得．……………1分
，顶点……………2分
【小题2】G(4,8),  G(8,8),  G(4,4)……………3分
【小题3】假设满足条件的点存在，依题意设，

由求得直线的解析式为…………1分
它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．
则，点到的距离为．
又．．
平方并整理得：，．……………1分
存在满足条件的点，的坐标为．……………1分
【小题4】由上求得．
抛物线向上平移，可设解析式为．
当时，．
当时，．或．……………1分
．
∴向上最多可平移72个单位长。……………2分

解析