Question

12．如果反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=-2x+1的图象的一个交点为P（-1，m）．
（1）m=3，k=-3；
（2）求直线与双曲线的另一个交点Q的坐标和△POQ的面积．

Answer 1

分析 （1）首先将点P代入一次函数的解析式解得m，在将点P的坐标代入反比例函数解析式可解得k；
（2）利用（1）的结论可得反比例函数的解析式，与一次函数的解析式组成方程组解得x，y可得点Q的坐标，利用三角形的面积公式可得△POM和△POQ的面积，即可求得△POQ的面积．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=-2x+1的图象的一个交点为P（-1，m），
将P（-1，m）代入一次函数y=-2x+1可得，m=-2×（-1）+1=3，
∴m=3，
∴P（-1，3），
∴k=（-1）×3=-3，
故答案为：3，-3；

（2）由（1）知 反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式为：y=-$\frac{3}{x}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+1}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∵点P的坐标为（-1，3）
∴点Q的坐标为（$\frac{3}{2}$，-2）
∵直线y=-2x+1与x轴的交点为M（$\frac{1}{2}$，0）
点P的坐标为（-1，3），点Q的坐标为（$\frac{3}{2}$，-2）
∴△POM底边OM的长为$\frac{1}{2}$，高为3，
△QOM底边OM的长为$\frac{1}{2}$，高为2，
∴△POM的面积为S₁=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3=\frac{3}{4}$，
△QOM的面积为S₂=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2$=$\frac{1}{2}$，
∴△POQ的面积为S=S₁+S₂=$\frac{3}{4}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用解方程组求得交点坐标是解答此题的关键．