Question

14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，0），（0，4），直线y=$\frac{1}{2}$x+b和线段AB交于点D，DE⊥x轴，垂足为点E，DF⊥y轴，垂足为点F，记w=DF-DE，当1≤w≤2时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 根据A（4，0），B（0，4）求得直线AB的解析式，联立方程组求得D的坐标，得到w=DF-DE=$\frac{8-2b}{3}$-$\frac{4+2b}{3}$=-$\frac{4}{3}$b+$\frac{4}{3}$，根据一次函数的性质即可得到结论．

解答 解：如图所示，
设直线AB解析式为：y=kx+m
∵A（4，0），B（0，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=4}\end{array}\right.$
解得：k=-1，m=4，
∴直线AB的解析式为：y=-x+4，
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8-2b}{3}}\\{y=\frac{4+2b}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{8-2b}{3}$，$\frac{4+2b}{3}$），
∴w=DF-DE=$\frac{8-2b}{3}$-$\frac{4+2b}{3}$=-$\frac{4}{3}$b+$\frac{4}{3}$，
∵-$\frac{4}{3}$＜0∴W随着b的增大而减小，
∵当W=1时，b=$\frac{1}{4}$；当W=2时，b=-$\frac{1}{2}$，
∴当1≤W≤2时，-$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质，求出w与b的函数关系式是解题的关键．