【题目】在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图1;
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;
(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析;(2)25°;(3)EF2+FD2=2AB2,见解析
【解析】
(1)根据题意直接画出图形得出即可;
(2)利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案;
(3)由轴对称的性质可得:EF=BF,AE=AB=AD,∠ABF=∠AEF=∠ADF,进而利用勾股定理得出答案.
解:(1)如图1所示:
(2)如图2,连接AE,
则∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB=AD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
又∵∠EAP=∠BAP=20°,
∴∠EAD=130°,
∴;
(3)数量关系是; EF2+FD2=2AB2
如图3,连接AE、BF、BD,
由轴对称的性质和正方形的性质可得:
EF=BF,AE=AB=AD,
∠ABF=∠AEF=∠ADF,
∴∠BFD=∠BAD=90°,
∴BF2+FD2=BD2,
∵在Rt△ABD中AD2+AB2=BD2
∴EF2+FD2=2AB2.
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【题目】如图①,在矩形中,,对角线相交于点,动点由点出发,沿向点运动.设点的运动路程为,的面积为,与的函数关系图象如图②所示,则边的长为( ).
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【题目】下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.
已知:⊙O及⊙O外一点P.
求作:⊙O的一条切线,使这条切线经过点P.
作法:①连接OP,作OP的垂直平分线l,交OP于点A;
②以A为圆心,AO为半径作圆,交⊙O于点M;
③作直线PM,则直线PM即为⊙O的切线.
根据小芸设计的尺规作图过程,
(1)用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成证明:
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【题目】已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象进行一次平移,使图象经过原点.(写出一种即可)
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;
(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表:
X | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣ | 3 | 3 |
下列结论:
(1)abc<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小;
(3)16a+4b+c<0;
(4)抛物线与坐标轴有两个交点;
(5)x=3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
其中正确的个数为( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
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